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O MOVIMENTO GRAVITACIONAL E AS LEIS DE KEPLER
Um pouco de história
Quem já não ficou olhando para o céu tentando desvendar o misterioso mundo dos astros?
Muitos fenômenos celestes exerciam uma forte influência nos povos mais antigos e até hoje exercem um fascínio sobre a gente.
Isso levou muitos astrônomos da Antigüidade a coletar inúmeros dados sobre o movimento dos astros, já que podia-se observar que muitos deles se moviam entre os demais.
Existem vários modelos que podemos citar sobre o movimento dos astros, tais como o Sistema de Ptolomeu (século II d.C.) e o modelo dos gregos (Aristóteles - século IV a.C.), que julgavam que os corpos celestes giravam em torno da Terra (Sistema Geocêntrico - Fig. 7.1).
O que mais nos interessa agora é o modelo de Copérnico (XVI). Nesse modelo denominado heliocêntrico, o Sol estaria em repouso e a Terra e os demais planetas girariam em torno dele em órbitas circulares. Anos depois foi provado por Kepler que estas órbitas eram elípticas. A fig. 7.2 mostra o Sistema Heliocêntrico nos dias de hoje com todos os planetas do sistema Solar.
As órbitas dos planetas são elipses de pequena excentricidade, praticamente circulares.
Figura 7.2 - Sistema heliocêntrico.
Observações:
1. O desenho não está em escala.
2. Até março de 1999, Plutão estará mais próximo do Sol que Netuno.
No século XVII era uma heresia religiosa sugerir que os planetas giravam ao redor do Sol e não da Terra. Em 1600, Giordano Bruno, um defensor do sistema heliocêntrico de Copérnico e um religioso herético em geral, foi julgado pela Inquisição e queimado na fogueira.
Mesmo o grande Galileu, que era amigo do Papa, foi preso, julgado pela Inquisição, e obrigado a renunciar publicamente suas crenças.
Anos após a morte de Copérnico, Tycho Brahe, um astrônomo dinamarquês, com um observatório muito bem equipado, observou por cerca de 20 anos o movimento dos planetas.
Esses dados foram tabelados e foram a base do trabalho de Kepler (XVII), que era seu discípulo. Após a morte de Tycho Brahe, Kepler estudou os dados deixados por seu mestre durante 17 anos concebendo 3 leis sobre o movimento dos planetas, dando origem à Mecânica Celeste.
Leis de Kepler
1a Lei de Kepler: Qualquer planeta gira em torno do Sol, descrevendo uma forma elíptica da qual o Sol ocupa um dos focos (fig. 7.3).
Figura 7.3 - 1a Lei de Kepler - O Sol ocupa um dos focos da elipse e a órbita do planeta é elíptica.
2a Lei de Kepler: A reta que une um planeta ao Sol "varre" áreas iguais em tempos iguais (fig. 7.4).
Figura 7.4 - 2a Lei de Kepler - As áreas A1 e A2 são iguais.
Nestes desenhos exageramos a excentricidade das elipses para facilitar a compreensão.
Da fig. 7.4 você pode observar que:
* As áreas A1 e A2 são iguais considerando que os tempos para o planeta ir de A a B e de C a D são iguais.
* O planeta se move com maior velocidade perto do Sol (arco AB) do que quando está mais afastado do Sol (arco CD). Isto acontece porque o planeta, estando mais próximo do Sol, sofre uma força de atração maior (comprovado mais tarde por Newton).
Observação: A 2a Lei de Kepler é válida para qualquer movimento em que haja atuação de forças dirigidas para um único ponto. Assim, no movimento circular, por exemplo, vale a 2a Lei de Kepler.
3a Lei de Kepler: Os quadrados dos períodos de revolução dos planetas são proporcionais aos cubos dos raios de suas órbitas.
Expressão:
T2 / R3 = K (constante) (7.1)
Onde:
T: período de revolução do planeta
R: raio da órbita do planeta
A terceira lei de Kepler nos diz que quanto mais afastado estiver o planeta do Sol, maior o tempo que leva para dar uma volta completa (maior o período), e vice-versa.
Só para você ter uma idéia: "A Terra leva um ano para dar uma volta ao redor do Sol e o raio de sua órbita é igual á 1,000 u.a. (uma unidade astronômica), enquanto Plutão, que é o planeta mais afastado do Sol, leva 248 anos para dar uma volta completa e o raio da sua órbita é igual à 39,4 u.a."
 Escrito por lu,bubuka,franci,gueka e luana às 21h16
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Em 1612, com a morte do Imperador Rudolph II, que havia abdicado em 23 de maio de 1611, Kepler aceitou a posição de matemático e professor do colégio distrital em Linz. Lá publicou o primeiro trabalho sobre a cronologia e o ano do nascimento de Jesus, em alemão em 1613 e, ampliado, em Latim em 1614: De vero Anno, quo aeternus Dei Filius humanam naturam in Utero benedictae Virginis Mariae assumpsit (Sobre o Verdadeiro Ano em que o Filho de Deus assumiu a Natureza Humana no Útero da Sagrada Virgem Maria). Neste trabalho Kepler demonstrou que o calendário Cristão estava em erro por cinco anos, pois Jesus tinha nascido em 4 aC, uma conclusão atualmente aceita. O argumento é que em 532 dC, o abade Dionysius Exigus assumiu que Cristo nascera no ano 754 da cidade de Roma, correspondente ao ano 46 do calendário Juliano, definindo-o como o ano um da era cristã. Entretanto vários historiadores afirmavam que o rei Herodes, que faleceu depois do nascimento de Cristo, morreu no ano 42 do calendário Juliano. Deste modo, o nascimento ocorrera em 41 do calendário Juliano, 5 anos antes do que Dionysius assumira.
Entre 1617 e 1621 Kepler publicou os 7 volumes do Epitome Astronomiae Copernicanae (Compendium da Astronomia Copernicana), que se tornou a introdução mais importante à astronomia heliocêntrica, e um livro texto de grande uso. A primeira parte do Epitome, publicada em 1617, foi colocada no Index de livros proibidos pela Igreja Católica em 10 de maio de 1619. A proibição por parte da Igreja Católica às obras sobre o modelo heliocêntrico começou pelo fato de Galileo ter escrito seu livro Siderius Nuncius (Mensagem Celeste) em 1610, despertando o interesse do povo. A razão da proibição era que no Salmo 104:5 do Antigo Testamento da Bíblia, está escrito: "Deus colocou a Terra em suas fundações, para que nunca se mova".
Em 1619 Kepler publicou Harmonices Mundi (Harmonia do Mundo), em que derivava que as distâncias heliocêntricas dos planetas e seus períodos estão relacionados pela Terceira Lei, que diz que o quadrado do período é proporcional ao cubo da distância média do planeta ao Sol. Esta lei foi descoberta por Kepler em 15 de maio de 1618.
Em 1615-16 houve uma caça às bruxas em sua região nativa, e ele defendeu sua mãe num processo em que ela era acusada de bruxarias. O processo se estendeu até 1920, quando ela foi liberada.
O ano de 1618 marcou o início da Guerra dos Trinta Anos, entre os Reformistas Protestantes e a Contra Reforma Católica, que devastou a região da Alemanha e Áustria. A posição de Kepler piorava, pois a Contra Reforma Católica aumentava a pressão sobre os protestantes na Alta Áustria, da qual Linz era a capital. Como Kepler era oficial da corte, ele está isento do decreto que bania todos os protestantes da província. Neste período Kepler estava imprimindo as Tabulae Rudolphinae baseadas nas observações de Tycho Brahe e calculadas de acordo com suas órbitas elípticas. Estas tabelas incluiam a posição dos planetas e cálculos de eclipses. Quando uma rebelião ocorreu e Linz foi tomada, a oficina de impressão foi queimada, e com ela muito da edição já impressa. Kepler e sua família deixaram Linz em 1626. Sua família ficou em Regensburg, enquanto ele mudou-se para Ulm, para imprimir as Tabulae Rudolphinae, finalmente publicadas em 1627. Essas tabelas provaram-se precisas por um longo tempo, trazendo a aceitação geral ao sistema heliocêntrico.
Apesar do nome de Kepler estar ligado à Astrologia, ele diz: ``Meus corpos celestes não eram o nascimento de Mercúrio na sétima casa em quadratura com Marte, mas Copérnico e Tycho Brahe; sem sua observações, tudo o que eu pude trazer à luz estaria enterrado na escuridão.''
Kepler então juntou-se à sua família em Regensburg, mas mudou-se para Sagan em julho de 1928, como matemático do imperador e do duque de Friedland. Em uma viagem, foi acometido de uma doença aguda em Regensburg, Alemanha, onde faleceu em 15 de novembro de 1630.
Escrito por lu,bubuka,franci,gueka e luana às 21h07
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Johannes Kepler
Kepler Johannes Kepler nasceu em 27 de dezembro de 1571, no sul da atual Alemanha, que naquela época pertencia ao Sacro Império Romano, em uma cidade chamada Weil der Stadt, região da Swabia. Era filho de Heinrich Kepler, um soldado, e de sua esposa Katharina, cujo sobrenome de solteira era Guldenmann. Seu avô paterno, Sebald Kepler, era prefeito da cidade, apesar de ser protestante (Luterano), numa cidade católica. Esta era a época da Renascença e da Reforma Protestante.
Por ter corpo frágil e pelas poucas condições financeiras da família, foi enviado ao seminário para seus estudos. Em setembro de 1588 Kepler passou o exâme de admissão (bacharelado) da Universidade de Tübingen, mas só iniciou seus estudos lá em 17 de setembro de 1589, onde estudava teologia no seminário Stift. Em 10 de agosto de 1591 foi aprovado no mestrado, completando os dois anos de estudos em Artes, que incluia grego, hebreu, astronomia e física.
Iniciou então os estudos de teologia, estudando grego com Martin Crusius, matemática e astronomia com Michael Maestlin, aprendendo com este sobre Copérnico, embora seu mestre defendesse o modelo geocêntrico do Almagesto de Ptolomeu. Antes de completar seus estudos, Kepler foi convidado a ensinar matemática no seminário protestante (Stiftsschule) de Graz, na Áustria, onde chegou em 11 de abril de 1594. Seu trabalho, além de ensinar matemática, que se conectava com a astronomia, também incluía a posição de matemático e calendarista do distrito.
Note que naquela época, o calendarista deveria prever o clima, dizendo a melhor data para plantar e colher, prever guerras e epidemias e mesmo eventos políticos. Kepler fazia os calendários porque era sua obrigação, mas tinhas sérias restrições à sua veracidade, dizendo por exemplo: "Os céus não podem causar muitos danos ao mais forte de dois inimigos, nem ajudar o mais fraco... Aquele bem preparado supera qualquer situação celeste desfavorável." E mais, Kepler usava os calendários para instigar cuidados, disfarçados como prognósticos, para prevenir doenças.
No início de 1597, Kepler publica seu primeiro livro, Prodromus disserationum cosmographicarum continens mysterium cosmographicum de admirabili proportione orbium celestium deque causis coelorum numeri, magnitudinis, motuumque periodicorum genuinis et propiis, demonstratum per quinque regularia corpora geometrica, cujo título abreviado é Mysterium Cosmographicum (Mistérios do Universo). Neste livro defendia o heliocentrismo de Copérnico, e propunha que o tamanho de cada órbita planetária é estabelecido por um sólido geométrico (poliedro) circunscrito à órbita anterior. Este modelo matemático poderia prever os tamanhos relativos das órbitas. Kepler enviou um exemplar para Tycho Brahe, que respondeu que existiam diferenças entre as previsões do modelo e suas medidas. Um exemplar enviado a Galileu, 8 anos mais velho que Kepler, fez este enviar uma pequena carta a Kepler agradecendo mas dizendo que ainda não havia lido, e dizendo que acreditava na teoria de Copérnico. .
Em setembro de 1598, o arquiduque da Áustria, príncipe Ferdinando de Habsburgo, líder da Contra-Reforma Católica, fechou o colégio e a igreja protestante em Graz, e ordenou que todos os professores e padres deixassem a cidade imediatamente. Kepler foi autorizado a retornar a cidade, como matemático do distrito, onde permaneceu até agosto de 1600, quando foi expulso definitivamente da cidade por recusar-se a se converter ao catolicismo.
Em junho de 1599 o imperador Rudolph II, da Boêmia, contratou Tycho Brahe como matemático da corte em Praga. Em janeiro de 1600 Kepler, então com 28 anos, visitou-o no castelo de Benatky, que o imperador tinha colocado à disposição de Tycho. Kepler sabia que somente com os dados de Tycho Brahe poderia resolver as diferenças entre os modelos e as observações. Tycho não acreditava no modelo de Copérnico por motivos teológicos, mas também porque acreditava que fosse possível medir a paralaxe das estrelas, que o modelo de Copérnico assumia à distância infinita. A paralaxe das estrelas só foi medida em 1838, pela primeira vez, por Friedrich Wilhelm Bessel.
Kepler já tinha observado eclipses e mesmo as estrelas, procurando medir a paralaxe, mas seus instrumentos eram muito rudes, e sua vista muita fraca.
Em 19 de outubro de 1600, Kepler, abandonado por seus antigos mestres por suas convicções na teoria heliocêntrica de Copérnico, e também por suas tendências Calvinistas, não aceitando os dogmas incondicionalmente, começou a trabalhar para Tycho Brahe em Praga. Em setembro de 1601 Kepler retornou a Praga depois de uma visita a Graz para acertar a herança de seu sogro, e Tycho já havia instalado seus instrumentos, que haviam sido trazidos de Hveen. Tycho o apresentou ao imperador, que o contratou como assistente de Brahe. Logo depois, em 24 de outubro de 1601, Brahe morreu. Dois dias depois o imperador nomeou Kepler como matemático imperial, sucedendo Brahe na tarefa de calcular as Tabelas Rudolfinas, com a previsão das posições dos planetas.
Kepler começou imediatamente a trabalhar no cálculo da órbita de Marte, e em 1602 descobriu a Lei das Áreas, mas não conseguiu fitar a forma da órbita. Se a órbita fosse circular, bastariam 3 observações, pois 3 pontos definem um círculo. Os pontos deveriam ser observados em oposição, já que em oposição é irrelevante se é a Terra ou o Sol que se movem, pois os três corpos estão alinhados. Tycho tinha observado 10 oposições de Marte entre 1580 e 1600, às quais Kepler depois adicionou as de 1602 e 1604. Naturalmente qualquer conjunto de 3 observações deveria resultar na mesma órbita. Como Marte é o planeta externo com maior excentricidade, dos conhecidos então, um círculo não fitava as observações. Mesmo introduzindo um equante Kepler não conseguia fitar as observações com erro menor que 8', enquanto a precisão das observações de Tycho eram da ordem de 1'. Em 1605 Kepler descobriu que a órbita era elíptica, com o Sol em um dos focos. Estes resultados foram publicados no Astronomia Nova, em 1609.
Em 1604 Kepler completou o Astronomiae pars Optica (Ad Vitellionen Paralipomena, quibur Astronomiae Pars Optica traditur), considerado o livro fundamental da ótica, onde explicou a formação da imagem no olho humano, explicou como funciona uma câmara obscura, descobriu uma aproximação para a lei da refração, estudou o tamanho dos objetos celestes e os eclipses.
Em 17 de outubro de 1604 Kepler observou a nova estrela (supernova) na constelação de Ophiucus, junto a Saturno, Júpiter e Marte, que estavam próximos, em conjunção. A estrela competia com Júpiter em brilho. Kepler imediatamente publicou um pequeno trabalho sobre ela, mas dois anos depois publicou um tratado, descrevendo o decaimento gradual de luminosidade, a cor, e considerações sobre a distância que a colocava junto com as outras estrelas.
Em 1610 Kepler leu o livro com as descobertas de Galileo usando o telescópio, e escreveu um longa carta em suporte publicada como Dissertatio cum Nuncio Sidereo (Conversa com o Mensageiro Sideral). Em agosto de 1610 ele usou um telescópio dado por Galileo ao duque da Bavária, Ernst de Cologne, para observar os satélites de Júpiter, publicando Narratio de Observatis Quatuor Jovis Satellitibus (Narração das Observações dos Quatro Satélites de Júpiter). Estes tratados deram grande suporte a Galileo, cujas descobertas eram negadas por muitos. Os dois trabalhos foram republicados em Florença.
Kepler também estudou as leis que governam a passagem da luz por lentes e sistemas de lentes, inclusive a magnificação e a redução da imagem, e como duas lentes convexas podem tornar objetos maiores e distintos, embora invertidos, que é o princípio do telescópio astronômico. Estudou também o telescópio de Galileo, com uma lente convergente como objetiva e uma lente divergente como ocular. Estes estudos foram publicados no Dioptrice, em 1611.
Escrito por lu,bubuka,franci,gueka e luana às 21h06
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O pesadelo lunar de Kepler
J. Kepler (1571-1630)
Johannes Kepler, um dos fundadores da ciência moderna, morto em 1630, além de grande matemático, um verdadeiro gênio, praticava astrologia concebendo horóscopos para os poderosos da sua época, imperadores e generais. Pratica que seria inconcebível a um homem de ciência dos nossos dias. Mas suas excentricidades também alçaram-se para os lados da ficção, ao imaginar ele uma suposta viagem à Lua, relato considerado precursor e inspirador da futura novela de aventuras siderais que se tornaram moda na segunda metade do século 19
Salvando a bruxa
"Mas assim que alguém ensinar a arte de voar, não faltarão colonos entre a nossas espécie humana [para ir a Lua ou a Júpiter]. ...Se forem dadas as naves e adaptadas as velas ao vento celeste, haverá gente que não sentirá medo de enfrentar aquela imensidão."
J. Kepler -Dissertatio,1609
Nada mais poderia ajudar a má fama de esquisitice da mãe do grande astrônomo Johannes Kepler do que o pedido que ela fizera ao coveiro da sua cidadezinha, em Württemberg, na Alemanha. Desejando dar ao filho, recém nomeado Matemático do Imperador, em 1601, um presente inesquecível, encomendou-lhe uma caveira para que, embebida em prata, o filho a colocasse sobre a sua mesa de trabalho. Não demorou para que ela, de nome Katherina, indisposta com a vizinhança e mais meio-mundo, fosse denunciada como bruxa. Abriram um processo contra ela em 1615, e o pobre Kepler, além de atormentar-se com os cálculos sobre as coisas do céu, viu-se obrigado a suspender suas investigações estrelares para defender a mãe, um incômodo que roubou-lhe quase seis anos de vida laboriosa, mas que ao menos conseguiu poupá-la da fogueira.
O curioso disso é que a velhota era dada a bruxarias mesmo, provavelmente derivando dela o gosto que Kepler manteve pelo misticismo e pela magia negra a vida toda. E foi ele mesmo quem deu as provas disso. Não para os inquisidores, felizmente, mas para a posteridade.
O sonho/pesadelo de Kepler
As crateras da Lua
Durante mais de trinta anos, ao tempo em que, seguidor de Copérnico, fixava as três grandes leis revolucionárias da astronomia moderna, ele conservou junto de si um manuscrito sobre uma imaginária viagem a Lua feita por um adolescente, ele mesmo, onde relata, na primeira parte do livro, intitulado Somnium sive opus postumum de astronomia lunari (editado somente em 1634, quatros anos depois dele morto) as estranhas atividades da mãe, uma exímia e suspeitíssima traficante de ervas malignas. Papel que no seu livro é reservado a feiticeira Fiolxhilde. Quando garoto ele havia remexido nas misturas secretas dela, naqueles pacotinhos misteriosos, sendo punido com a expulsão de casa, vendido que fora a um capitão de navio. Mais tarde, reconciliado com a mãe, ela, invocando a sua intimidade com os demônios lunares, proporcionou-lhe uma viagem sensacional, nada mais do que uma visita à Lua. Os entendidos concordam que as etapas de aclimatação do corpo para aquele passeio sideral, imaginado e descrito em todos os detalhes por Kepler, confirmaram-se em grande parte quando os astronautas começaram a galgar os espaços no século XX.
O cenário lunar de Kepler, por sua vez, não tinha nada de aprazível. Concebeu a face da Lua voltada para a Terra subdividida em dois hemisférios - a prevolvana e a subvolvana, a parte de cima e a de baixo -, um pior do que o outro. As temperaturas eram apavorantes, um clima onde um frio gélido, dava lugar a calores espantosos, ardentíssimos, da intensidade de milhares de sóis. Em vista disso, as criaturas lá viventes, as mais variadas espécies da zoologia lunar, serpentes e répteis gigantescos, só podiam sair à noite, quando então arrastavam-se, repelentes, para fora das suas fendas e cavernas em busca de repasto. O pobre Kepler projetava neste delírio, um pesadelo, todos os seus tormentos terrenos. Além daquela mãe terrível, embaraçou-se ainda mais com a pavorosa Guerra dos Trinta Anos (1618-1648), que devastou a maior parte da Alemanha.
Levitando em meio a guerra
Nem católico, nem protestante, em meio a uma trovoada religiosa que dividiu a cristandade ocidental, sentiu-se então na mesma solidão de um ser flutuando no vácuo disputado por dois campos magnéticos. Idêntica sensação que ele descreveu ter passado o jovem viajante Duracotus, personagem central do seu Somnium, quando tentava escapulir da órbita da Terra para alcançar o seu luminoso satélite. Livro seminal este de Kepler, entre a autobiografia e a ficção, porque criou um gênero, o da ficção científica – J.L. Borges o colocaria na literatura fantástica - , sendo que a sua espantosa idéia de uma viagem à Lua, ainda no século 17, deu margem a que, dois séculos e tanto depois dele, Jules Verne escrevesse o De la Terre à la Lune (Da Terra à Lua, 1865), quando a façanha é completada em 97 horas por um poderoso obus expelido de um supercanhão, e a que H.G.Wells lançasse o seu The First Men in the Moon (Os primeiros homens na Lua, 1901), confiando sua aventura aos feitos de um balão. E, de certo modo, as mesmas formas de vida que ele projetou existirem na Lua, até hoje ainda povoam os filmes que tratam dessas viagens extraordinárias para planetas e galáxias cada vez mais distantes, onde pululam figuras todas elas repulsivas, de fato, projeções de nós mesmos, da nossa inconfessa ferocidade
Escrito por lu,bubuka,franci,gueka e luana às 21h02
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Leis de Kepler do Movimento Planetário
Primeira Lei de Kepler do Movimento Planetário
"as órbitas dos planetas em torno do Sol são elipses com o Sol situado em um dos focos desta elipse."
Segunda Lei de Kepler do Movimento Planetário
"uma linha traçada do Sol até um planeta varrerá áreas iguais em intervalos de tempo iguais à medida que o planeta realiza o seu movimento orbital em torno do Sol."
O planeta se move mais lentamente quando ele está mais afastado do Sol e se move mais rápido quando ele está mais próximo do Sol. Isto é equivalente à conservação do momentum angular.
Terceira Lei de Kepler do Movimento Planetário
"o quadrado do período da órbita de um planeta é proporcional ao cubo do semi-eixo maior da elipse orbital descrita por este planeta."
podemos escrever isto como:
T2 é proporcional a a3, onde "T" é o período orbital de um planeta (seu ano) e "a" é o semi-eixo maior da elipse que ele descreve.
A constante de proporcionalidade é a mesma para todos os planetas.
Escrito por lu,bubuka,franci,gueka e luana às 21h00
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Johannes Kepler
Weil, Württemberg, 1571 - Ratisbona, 1630
Matemático e astrólogo alemão. De família modesta, consegue bolsas para estudar em Adelberg, Maulbrunn e Tubinga, de onde é expulso pelas suas opiniões pouco ortodoxas. Aos vinte e dois anos é nomeado professor de Matemática em Gratz. Em 1599, as perseguições religiosas obrigam-no a deixar Gratz. Tycho Brahe chama-o para Praga, onde o ajuda na elaboração das Tábuas Rodolfinas. Em 1601, após a morte de Brahe, sucede-lhe como astrónomo do imperador Rodolfo II. A vida privada de Kepler é uma série de infortúnios e misérias: a sua primeira mulher enlouquece, a segunda carrega-o de filhos, tem de salvar da fogueira a mãe, acusada de bruxaria... Apesar da sua pobreza sempre consegue que algum príncipe lhe conceda uma pensão para prosseguir os estudos.
A sua primeira obra, o Prodromus dissertationum cosmographicarum, trata de cálculos astronómicos em apoio a Copérnico e de diversas divagações astronómicas e musicais. Em Ad vitellionem paralipomena, Kepler oferece uma excelente tábua de reflexões. Mas a obra que lhe dá uma fama imortal é de 1609, e aparece com o título de Astronomia Nova. Nela enuncia as três leis que têm o seu nome e que regem o movimento dos planetas.
Escrito por lu,bubuka,franci,gueka e luana às 20h57
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Johannes Kepler !!
Escrito por lu,bubuka,franci,gueka e luana às 20h55
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